\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{对称与守恒：Noether定理的进一步探讨}
	\subsection{比较简单的一节}
	\footnote{参考：UCSD《Noether’s Theorem》，UCR《Noether's Theorem in a Nutshell》，朗道《力学》，刘川《理论力学》。本笔记使用AI辅助。}
	首先我们简要回顾Euler-Lagrange方程。Euler-Lagrange方程是：
	\begin{equation}
		L=L(q_1,q_2,...,q_1',q_2',...,t)
		\qquad
		\dv{}{t} \pdv{L}{q_i'} = \pdv{L}{q_i} \qquad i=1,2,3,...,s
	\end{equation}
	其中$q$是广义坐标，$q'$是相应的广义速度，$L$是Lagrange量，s是自由度。
	
	对称与守恒是物理中经久不衰的话题。我们已经知道，如果“系统在某一广义坐标$q_i$上具有平移对称性”，
	那么“当系统在$q_i$方向上‘平移’过一定距离后，$L$仍相同”；
	或者说，“当$q_i$轻微变化，$L$仍相同”；
	更直截了当的 ，“$L$不显含某一广义坐标$q_i$”。
	根据Euler-Lagrange方程，我们很快推知，$q_i$的这一对称性将导致相应广义动量$p_i$的守恒：
	\begin{equation}
		\text{系统在$q_i$上具有平移对称性}
		\Rightarrow 
		\pdv{L}{q_i} = 0
		\Rightarrow
		\dv{}{t} \pdv{L}{q'_i} = \pdv{L}{q_i} = 0
		\Rightarrow 
		p_i = \pdv{L}{q'_i} \text{守恒}
	\end{equation}
	这个是“对称导致守恒”的最基本写法。
	
	\subsection{有点困难的一节：平移}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{pic1}
		\caption{平移示意图。a. 只平移一个粒子 b. 整体平移所有粒子}
		\label{fig:pic1}
	\end{figure}
	
	然而并不是所有的$L$都具有上述这么好的性质。
	比如，一个经典的多粒子系统的$L$可能是
	\begin{equation} \label{eq:system_L}
		\begin{aligned}
			L &= 1/2 \sum_i m_i v_i^2 - 1/2 \sum_i \sum_j \frac{1}{\abs{\bvec r_i - \bvec r_j}}\\
			 &= 1/2 \sum_i m_i ({x'_i}^2+{y'_i}^2+{z'_i}^2) - 1/2 \sum_i \sum_j \frac{1}{\sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2+(y_i-y_j)^2}} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	一眼看出$\pdv{L}{x}, \pdv{L}{y}$均不恒为零，因此找不到一种直接的对称性或守恒量。
	换句话说，在这个系统中，单个粒子的动量并不“守恒”。
	但如果我们同时轻微平移所有粒子的$x$坐标：
	\begin{equation}
		x_i^{(2)} = x_i^{(1)} + \delta x \qquad i=1,2,3,...
	\end{equation}
	我们发现，在这种变换下$L$是不变的：
	\begin{equation}
		L^{(2)} = ... - 1/2 \sum_i \sum_j \frac{1}{\sqrt{((x_i+\delta x)-(x_j+\delta x))^2+...}} = L\\
	\end{equation}
	我们挖掘出了$L$的“隐藏”对称性：
	$L$虽然不对单独的某个$x$对称，但是对全体$x$的某种变换对称。
	
	\newpage
	
	上述思考启发我们，$L$虽然可能不单独对某一广义坐标$q_1, q_2, \ldots$对称，但可能对这些坐标的某种组合变换对称。
	亦即，我们可以成比例地改变$q_i$而保持$\delta L = 0$。
	这一概念抽象地表示为：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}\qquad 
		\delta q_i = \alpha_i \delta s
		~~\text{such that}~~
		\delta L
		= L(q_1+\alpha_1 \delta s, q_2+\alpha_2 \delta s,...)
		-L(q_1, q_2,...)
		=0
	\end{equation}
	Noether定理启发我们寻找这种对称性背后的守恒量。
	首先展开$\delta L$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta L 
			&= \sum_i \pdv{L}{q_i} \delta q_i + \sum_i \pdv{L}{q'_i} \delta q'_i \\
			&= \sum_i \pdv{L}{q_i} \delta q_i + \sum_i \pdv{L}{q'_i} \delta \dv{}{t} q_i \\
			&= \sum_i \pdv{L}{q_i} \delta q_i + \dv{}{t} \left(\sum_i  \pdv{L}{q'_i} \delta q_i \right) - \sum_i \dv{}{t} \left( \pdv{L}{q'_i} \right) \delta q_i \qquad \text{凑全微分} \\
			&= \dv{}{t} \left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} \delta q_i \right)\qquad \text{根据Euler-Lagrange方程，第1、3项抵消} \\
			&= \dv{}{t} \left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right) \delta s
		\end{aligned}
	\end{equation}
	此处推导和“从最小作用量原理推导Euler-Lagrange方程”的推导不同，
	这里我们假设Euler-Lagrange方程成立，但“成比例地改变了$q_i$”。
	由于假设了对称性，因此$\delta L=0$，
	\begin{equation}
		\delta L = \dv{}{t} \left( \sum_i\pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right) \dd s = 0
		\Rightarrow \dv{}{t} \left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right) = 0
		\Rightarrow \sum_i \left( \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right) \text{不随时间变化}
	\end{equation}
	即我们找到了守恒量
	\begin{equation}
		\Lambda = \sum_i \left( \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right)
	\end{equation}
	总结一下：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}~
		\delta q_i = \alpha_i \delta s
		~~\text{such that }~~
		\delta L = 0
		\Rightarrow 
		\text{守恒量：}~
		\Lambda = \sum_i \left( \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right)
	\end{equation}
	
	回到上述平移的例子，我们思考这个结论意味着什么。
	在平移的例子中，$\pdv{L}{q'_i}$是各个粒子的$x$方向动量$m_i x'_i$，因此我们的守恒量$\Lambda$是
	\begin{equation}
		\Lambda = \sum_i m_i x'_i = P_x
	\end{equation}
	这正是我们熟悉的$x$方向上的系统总动量守恒。
	如法炮制，我们可以证明任意方向上的系统总动量守恒。
	这表明，平移对称性导致了动量守恒。
	
	\newpage
	\subsection{更困难的一节：旋转}

	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.2 \linewidth]{pic2a}
		\caption{旋转示意图：整体关于原点旋转所有的粒子}
		\label{fig:pic2a}
	\end{figure}

	我们再举一个例子。假设系统仍然是 \formula{eq:system_L}，
	但这回我们关于原点与$z$轴整体“旋转”所有的粒子，
	那么旋转后各粒子的位置和速度分别变为：
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			x_i^{(2)} = x_i \cos \theta + y_i \sin \theta \\
			y_i^{(2)} = - x_i \sin \theta + y_i \cos \theta \\
			z_i^{(2)} = z_i
		\end{cases}
		\qquad
		\begin{cases}
			x_i^{'(2)} =   x'_i \cos \theta + y'_i \sin \theta \\
			y_i^{'(2)} = - x'_i \sin \theta + y'_i \cos \theta \\
			z_i^{'(2)} = z_i
		\end{cases}
	\end{equation}
	系统的$L$就变为
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			L^{(2)} = & + 1/2 \sum_i m_i ({(x_i^{'(2)})}^2+{(y_i^{'(2)})}^2+{(z_i^{'(2)})}^2) \\
			& - 1/2 \sum_i \sum_j \frac{1}{\sqrt{(x^{(2)}_i-x^{(2)}_j)^2+(y^{(2)}_i-y^{(2)}_j)^2+(z^{(2)}_i-z^{(2)}_j)^2}} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	一番计算后再次发现（部分证明见附件）：
	\begin{equation}
		L^{(2)} = L
	\end{equation}
	也就是说，系统的$L$关于整体旋转也是对称的。
	现在，我们假定旋转角度很小（学术地称为无穷小旋转），即令$\theta \to 0$并写为$\delta \theta$，那么
	$$
	\begin{cases}
		x^{(2)}_i \approx x_i (1-1/2 (\delta \theta)^2) + y_i \delta \theta \approx x_i + y_i \delta \theta\\
		y^{(2)}_i = y_i - x_i \delta \theta \\
		z^{(2)}_i = z_i
	\end{cases}
	\Rightarrow
	\begin{cases}
		\delta x_i =   y_i \delta \theta \\
		\delta y_i = - x_i \delta \theta \\
		\delta z_i = 0
	\end{cases}
	$$
	(略去高阶项)我们相信，在无穷小旋转后，$L$也是不变的。
	那么根据上述Noether定理，我们依然有守恒量：
	\begin{equation}
		\Lambda = \sum_i \left( \pdv{L}{q'_i} \alpha_i \right)
	\end{equation}
	我们知道拉格朗日量 $L$ 对速度的偏导数为
	$\pdv{L}{x'_i} = mx'_i, \quad \pdv{L}{y'_i} = my'_i$，
	而相应的$\alpha$分别为$y_i$与$-x_i$。
	因此，
	\begin{equation}
		\Lambda = \sum_i m_i (x'_i y_i-y'_i x_i) = - L_z
	\end{equation}
	这是系统总角动量 $\bvec L$ 的 $z$ 分量（准确地说差一个负号），
	这表明，旋转对称性导致了角动量守恒。
	
	综上所述我们发现，
	整体平移和旋转能保持$L$（的势能部分）不变的原因在于，整体平移和旋转虽然改变了粒子的“绝对位置”，却没有改变粒子间的相对距离，
	而刚好我们的$L$（的势能部分）只和粒子间的相对距离有关。


	\newpage
	\subsection{比较抽象的一节：时间}
	
	在深入探讨这一节之前，我们先来聊聊全微分 $\dv{L}{t}$ 和偏微分 $\pdv{L}{t}$ 之间的微妙区别。
	让我们用一个有趣的例子来说明：想象一个控制水温的阀门
	\begin{itemize}
		\item 正常情况：
		水温 $T$ 只取决于阀门的角度 $\theta$，而这个角度又可能随着时间变化（比如有人在扭动阀门）。
		所以，水温会随着阀门角度的变化而变化，即 $\dv{T}{t} = \dv{T}{\theta} \dv{\theta}{t} \neq 0$。
		但是，只要没人动阀门（$\theta$ 不变），水温就不会改变，也就是水温不显含时 $\pdv{T}{t} = 0$。

		\item 特殊情况：
		然而，如果这个温度阀门快坏了，即使阀门角度不变，水温也可能莫名其妙地开始变化！
		这时，水温就开始显含时了，$\pdv{T}{t} \neq 0$。
		这种情况简直是洗澡时最让人抓狂的事情——明明阀门没动，水温却忽冷忽热！
	\end{itemize}
	用数学的语言来说，水温的变化可以写成：
	$$
	\dv{T}{t} = \pdv{T}{\theta} \dv{\theta}{t} + \pdv{T}{t}
	$$
	其中，$\pdv{T}{t}$ 只是 $\dv{T}{t}$ 的一部分。
	也就是说，水温的变化既可能是因为阀门被扭动了（$\dv{\theta}{t} \neq 0$），
	也可能是因为阀门本身有问题（$\pdv{T}{t} \neq 0$）。
	总结一下：全微分 $\dv{T}{t}$ 考虑了所有可能导致水温变化的因素，
	而偏微分 $\pdv{T}{t}$ 只关注时间本身对水温的影响。

	我们假设系统仍然是 \formula{eq:system_L}。
	观察这个$L$我们发现，这个$L$不显含时$\pdv{L}{t} = 0$。
	这意味着，虽然$L$可能因为$\bvec r, \bvec v$随时间的改变而改变（$L$含时$\dv{L}{t}\ne 0$），然而只要$\bvec r, \bvec v$不变，$L$就不变（$L$不显含时$\pdv{L}{t}=0$）。
	通俗地说，$\pdv{L}{t} = 0$意味着物理规律不随时间变化。
	一个常用的例子是，如果两个粒子今天距离$1 \mathrm{m}$、感受到的力是$1 \mathrm{N}$，
	那么明天只要这两个粒子的距离还是$1 \mathrm{m}$、那么他们感受到的力将依然是$1 \mathrm{N}$，

	抽象地说，“物理规律不随时间改变”代表着系统在时间尺度上的“平移对称性”：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}\qquad \pdv{L}{t} = 0 \Leftrightarrow L=L(q_i,q'_i)
	\end{equation}
	Noether定理告诉我们，这个独特的对称性也将导致守恒。
	展开$\dv{L}{t}$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\dv{}{t} L 
			&= \sum_i \pdv{L}{q_i} \dv{q_i}{t} + \sum_i \pdv{L}{q'_i} \dv{q'_i}{t} \\
			&= \sum_i \pdv{L}{q_i}  q'_i + \dv{}{t} \left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i \right) - \sum_i \dv{}{t} \left( \pdv{L}{q'_i} \right) q'_i \qquad \text{凑全微分} \\
			&= \dv{}{t}\left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i \right)\qquad \text{根据Euler-Lagrange方程，第1、3项抵消} \\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	$\dv{}{t} L = \dv{}{t}\left( \sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i \right)$这一恒等式意味着守恒量$H$的存在：
	\begin{equation}
		\dv{}{t} ~ \left(\sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i - L \right) = 0 
		\Rightarrow \text{守恒量：} H = \left(\sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i - L \right)
	\end{equation}
	总结一下：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}\pdv{L}{t} = 0 \Rightarrow \text{守恒量：} H = \left(\sum_i \pdv{L}{q'_i} q'_i - L \right)
	\end{equation}
	这一守恒量$H$是系统的广义能量，对于\formula{eq:system_L}而言是系统的机械能。
	因此，时间平移对称性导致能量守恒。
	
	\newpage
	
	\subsection{比较神奇的一节：宇称}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{pic_parity}
		\caption
		{
			宇称示意图。
			a. 宇称变换系统 
			b. 对比系统及其宇称（经过旋转、平移） 
			c.一个更直观的手性分子及其宇称的例子
		}
		\label{fig:picparity}
	\end{figure}
	
	假设系统仍然是 \formula{eq:system_L}，
	但这回我们关于原点对称所有的粒子，
	或者说，对系统做宇称变换（也称空间反射），
	这使得各个粒子的坐标和速度都反号：
	\begin{equation}
		\left \{
		\begin{aligned}
			x^{(2)}_i &= -x_i, & y^{(2)}_i &= -y_i, & z^{(2)}_i &= -z_i, \\
			x^{'(2)}_i &= -x'_i, & y^{'(2)}_i &= -y'_i, & z^{'(2)}_i &= -z'_i
		\end{aligned}
		\right.
		\qquad 
		\left (
		\begin{cases}
			\bvec r^{(2)} &= \Pi \bvec r \\
			\bvec v^{(2)} &= \Pi \bvec v
		\end{cases}
		\qquad \Pi = -I
		\right )
	\end{equation}
	那么上述$L$在宇称变换后会如何改变？我们发现，宇称变换后得到的$L^{(2)}$和原先的$L$相同：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			L^{(2)} &= \frac{1}{2} \sum_i m_i (-v_i)^2 - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \frac{1}{\abs{-\bvec r_i - (-\bvec r_j)}} \\
					&= \frac{1}{2} \sum_i m_i v_i^2 - \frac{1}{2} \sum_i \sum_j \frac{1}{\abs{\bvec r_i - \bvec r_j}} \\
					&= L
		\end{aligned}
	\end{equation}
	也就是说，这样一个系统$(\bvec r, \bvec v)$及其“宇称”$(-\bvec r, -\bvec v)$遵循相同的物理规律。
	由此，我们得到了宇称对称性的含义：
	\begin{equation}
		\text{对称性：}\qquad \bvec r_i^{(2)} = -\bvec r_i, \bvec v_i^{(2)} = -\bvec v_i ~\text{such that}~ L^{(2)} = L
	\end{equation}
	一般多在量子系统中讨论宇称对称性的守恒量。
	
	需要注意的是，和平移、旋转变换不同，
	宇称操作微妙地改变了系统的结构与性质（“手性”），
	因此一般\textbf{不能}通过改变参考系（见下）而使得宇称变换后的系统$(2)$再次变回原先的系统，
	例如，有些左手性分子在宇称后变为了右手性分子，这两种分子的立体化学结构并不相同。

	有时宇称操作相当于“镜像”操作，例如，关于$yz$平面镜像对称系统：
	$$
	\begin{aligned}
		x^{(2)}_i &= -x_i, & y^{(2)}_i &= y_i, & z^{(2)}_i &= z_i, \\
		x^{'(2)}_i &= -x'_i, & y^{'(2)}_i &= y'_i, & z^{'(2)}_i &= z'_i
	\end{aligned}
	$$
	这是因为，镜像和宇称相差一个旋转，而旋转容易被理解为参考系变换：
	$$
	\begin{pmatrix}
		-x \\ y \\ z
	\end{pmatrix}
	=
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & 0 \\
		0 & \cos \theta & \sin \theta \\
		0 & -\sin \theta & \cos \theta
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		-x \\ -y \\ -z
	\end{pmatrix}
	=
	\begin{pmatrix}
		1 & 0 & 0 \\
		0 & -1 & 0 \\
		0 & 0 & -1
	\end{pmatrix}
	\begin{pmatrix}
		-x \\ -y \\ -z
	\end{pmatrix}
	$$
	其中$\theta = 180 ^\circ$
	
	\newpage
	
	\section{相对性原理与$L$的自我修养}

	\subsection{参考系变换}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{pic3}
		\caption{示意图 a. 整体平移所有粒子，b. 改变参考系观察}
		\label{fig:pic3}
	\end{figure}
	
	我们在上文使用了大量诸如“对于粒子坐标的整体变换”之类的操作，
	但这有点令人费解：我们怎么能够凭空同时移动所有的粒子呢？这么做有什么意义吗？
	
	一种解释是，这相当于换一个参考系观察粒子：
	在另一个参考系中，虽然我们并没有“实际”移动任何粒子，但粒子的位置“确实”发生了变化。
	这为“想象轻微变换”赋予了另一层更实际的意义：我们可以将想象中的“整体平移所有粒子”转化为实际的“改变参考系进行观察”。
	学术上，这被称为“主动变换”和“被动变换”。
	
	\subsection{相对性原理与$L$的内部结构}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.3 \linewidth]{pic4}
		\caption
		{
			示意图：处于两个不同惯性参考系的人可能看到物理量的不同具体数值，但应该看到相同的物理规律
			（使用AI生成的元素）
		}
		\label{fig:pic4}
	\end{figure}
	
	
	当我们从一个参考系转换到另一个参考系时，就会遇到“相对性原理”。
	相对性原理指出，物理定律在所有惯性参考系中都是相同的，
	这意味着没有一个惯性参考系比另一个更“特殊”，也不存在绝对静止的参考系。
	这一原理听起来像是狭义相对论的内容，
	但早在Galileo时期人们就已经认识到了相对性原理的重要性。
	
	相对性原理暗示了时空的均匀性。
	举一个例子，比如说我们假设有一个定理，“$x=0$处的粒子比别处衰变更快”。
	但是，$x=0$是对哪个参考系说的呢？
	同样一个粒子，在$S1$中可能位于$x=0$，而在$S2$系中可能位于$x=5$。
	反过来说，如果辩称“指的是在$S0$系中$x=0$处的粒子比别处衰变更快”，那么实则暗示了存在一个具有特殊地位的$S0$参考系。
	总之，如果我们相信相对性原理，那么我们就不应该有一个直接指明空间坐标的物理定理
	（本节末尾会继续探讨这个问题）。
	
	既然转换参考系可以被理解为“整体移动粒子”，
	再加上相对性原理“不同参考系下物理规律相同”，
	而诺特定理又告诉我们，“对称性导致守恒”，
	这意味着对称性和守恒应该是普遍存在的、一个构造良好的拉格朗日量 $L$ 应该自发包含某些对称性以及守恒量。
	例如，$L$不应该显含空间坐标，因为在不同参考系中的空间坐标是不一样的，显含空间坐标的$L$会导致对称性的破坏。
	（进一步而言，相对论的Lorentz变换同时转换时间与空间，因此相对论下的$L$也不能显含时间坐标）

	宇称操作比较复杂，因为宇称改变了系统的“手性”。	
	尽管一般认为经典系统普遍具有宇称对称性，但在量子世界中就未必如此，
	例如，弱相互作用下系统可能不具有宇称对称性。
	发现“弱相互作用下系统可能不具有宇称对称性”这一惊世骇俗的现象是杨振宁，李政道和吴健雄的成名作之一，
	并深刻地改变了人们对量子世界的认识。
	
	\subsection{进一步地讨论}
	
	有小伙伴可能马上找到一个“反例”：
	那为什么我们经常遇到显含坐标的Lagrange量？
	例如一个下落的苹果的Lagrange量可能是$L=1/2 mv^2 - mgz$，
	物理学难道不存在了吗？
	
	这个问题取决于我们的理解。
	我的大学物理课本曾提到，在科学萌芽的早期，
	人们认为垂直于地面的 $z$ 轴与水平面的 $x, y$ 轴不同，
	因为物体会在 $z$ 轴上“自发运动”，而在 $x, y$ 轴上则不会。
	现在我们知道，这是由于地球的引力作用。
	如果我们显式地考虑地球的影响，
	那么 $x, y, z$ 轴将再次代表完全相同的空间。
	
	在这个例子中也是如此，当我们写下包含高度坐标$z$的拉格朗日量 $L$ 时，
	我们实则假定了地球是一个对系统起作用的外部因素、这一外部因素破坏了空间的均匀性。
	如果我们显式地将地球自身也包含进系统内并一同平移，那么对称性将再次成立
	（虽然有时将这些因素考虑为外部效应有助于实际解决问题）。
	
	\newpage
	
	\section{附件}
	\subsection{证明$L^{(2)} = L$}
	由于这个证明相对比较简单，因此只完成势能部分，动能部分\textsl{自证不难}。
	势能部分的证明关键依然在于证明$\abs{\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j} = \abs{\bvec r_i - \bvec r_j}$
	（其中$i,j$代表粒子，而不是$\bvec r$的分量）：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\abs{\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j}
		    & = {\sqrt{(x^{(2)}_i-x^{(2)}_j)^2+(y^{(2)}_i-y^{(2)}_j)^2+(z^{(2)}_i-z^{(2)}_j)^2}} \\
			& = {\sqrt{((x_i \cos \theta + y_i \sin \theta) - (x_j \cos \theta + y_j \sin \theta))^2+((- x_i \sin \theta + y_i \cos \theta) - (- x_j \sin \theta + y_j \cos \theta))^2+(z_i-z_j)^2}} \\
			& = {\sqrt{((x_i-x_j)\cos \theta + (y_i-y_j)\sin \theta)^2+((x_j-x_i)\sin \theta + (y_i-y_j)\cos \theta)^2+(z_i-z_j)^2}} \\
			& = {\sqrt{(x_i-x_j)^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)+(y_i-y_j)^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)+(z_i-z_j)^2}} \\
			& = {\sqrt{(x_i-x_j)^2 +(y_i-y_j)^2 +(z_i-z_j)^2}} \\
            & = \abs{\bvec r_i - \bvec r_j}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	可见，整体旋转不改变各个粒子之间的相对距离。
	
	\subsection{更一般的证明}
	上述的证明使用了分量形式，看起来不大优雅，因此下文我们使用矩阵的语言重新证明。
	对于熟悉线性代数的小伙伴，这更为简洁、一般。

	首先我们知道，旋转可以表示为一个线性变换：
	\begin{equation}
		\bvec r^{(2)} = \Lambda \bvec r
	\end{equation}
	其中$\Lambda$是旋转矩阵，旋转矩阵具有以下重要性质：
	\begin{equation}
		\Lambda^T \Lambda = I
	\end{equation}
	对于这个性质的简要理解（但不严格）是，由于旋转前后$\bvec r$的模长保持不变，因此：
	\begin{equation}
		\bvec r^{(2)T} \bvec r^{(2)} =  \bvec r^T  \bvec r
		 \Rightarrow \bvec r^T \Lambda ^T \Lambda \bvec r =  \bvec r^T \bvec r
		 \Rightarrow \Lambda^T \Lambda = I
	\end{equation}
	我们现在证明$\abs{\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j} = \abs{\bvec r_i - \bvec r_j}$：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\abs{\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j} 
			& = \sqrt{(\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j)^T(\bvec r^{(2)}_i - \bvec r^{(2)}_j)}\\
			& = \sqrt{(\Lambda \bvec r_i - \Lambda \bvec r_j)^T(\Lambda \bvec r_i - \Lambda \bvec r_j)}\\
			& = \sqrt{(\bvec r_i^T \Lambda^T - \bvec r_j^T \Lambda^T)(\Lambda \bvec r_i - \Lambda \bvec r_j)}\\
			& = \sqrt{\bvec r_i^T \Lambda^T \Lambda \bvec r_i-\bvec r_i^T \Lambda^T \Lambda \bvec r_j-\bvec r_j^T \Lambda^T \Lambda \bvec r_i+\bvec r_j^T \Lambda^T \Lambda \bvec r_j}\\
			& = \sqrt{\bvec r_i^T \bvec r_i-\bvec r_i^T \bvec r_j-\bvec r_j^T \bvec r_i+\bvec r_j^T \bvec r_j} \qquad \Lambda^T \Lambda = I\\
			& = \sqrt{(\bvec r_i - \bvec r_j)^T (\bvec r_i - \bvec r_j)} \\
			& = \abs{\bvec r_i - \bvec r_j}
		\end{aligned}
	\end{equation}
	得证。
\end{document}

